متباينة كوشي-شفارتس
متباينة كوشي-شفارتس هي من أهم المتباينات في الجبر الخطي والرياضيات التطبيقية، وتعطى كما يلي:
\[\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)\]البرهان
لنفرض لدينا متجهين \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n) \) و \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n) \) في الفضاء الإقليدي \( \mathbb{R}^n \).
نعتبر دالة المساعدة التالية:
\[p(t) = \sum_{i=1}^{n} (a_i + t b_i)^2\]الخطوة 1: تحليل الدالة
الدالة \( p(t) \) هي دالة تربيعية في \( t \). نوسع التعبير:
\[p(t) = \sum_{i=1}^{n} (a_i^2 + 2 t a_i b_i + t^2 b_i^2)\]يمكن كتابة \( p(t) \) على شكل:
\[p(t) = \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + 2t \sum_{i=1}^{n} a_i b_i + t^2 \sum_{i=1}^{n} b_i^2\]وبالتالي:
\[p(t) = A + 2Bt + Ct^2\]حيث:
\[\begin{split} A &= \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \\ B &= \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \\ C &= \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \end{split}\]الخطوة 2: شرط غير سلبية الدالة
بما أن \( p(t) \geq 0 \) لجميع قيم \( t \) لأن مربع أي عدد حقيقي هو دائمًا غير سالب، فإن المميز الخاص بالمعادلة التربيعية \( p(t) = 0 \) يجب أن يكون غير موجب. أي أن:
\[\Delta = B^2 - AC \leq 0\]الخطوة 3: النتيجة
من الشرط أعلاه، نحصل على:
\[B^2 \leq AC\]أي:
\[\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)\]وهذا ما يثبت متباينة كوشي-شفارتس.
متباينة كوشي-شفارتس (التكاملية)
من أجل كل دالتين \( g(t),f(t) \) مستمرتين على مجال \( [a,b] \)
\[\Big(\int_{a}^{b}\, f(x)\,g(x)\, dx\Big)^2\leq \Big(\int_{a}^{b}\, \big(f(x)\big)^2\,dx \Big)\Big(\int_{a}^{b}\, \big(g(x)\big)^2\,dx\Big)\]البرهان
بنفس الطريقة يمكن إعتبار
\[p(t) = (g(x) + t f(x))^2\geq 0, \quad t\in\mathbb{R}\]بالمكاملة على المجال \( [a,b] \)، نجد
\[\begin{split} 0 &\leq \int_{a}^{b}(g(x) + t f(x))^2 dx\\ &= t^2\int_{a}^{b}(f(x))^2 dx+2t\int_{a}^{b}(f(x)g(x)) dx+\int_{a}^{b}(g(x))^2 dx\\ &= t^2 A+2Bt+C\\ \end{split}\]حيث
\[\begin{split} A&=\int_{a}^{b}(f(x))^2 dx\\ B&=\int_{a}^{b}(f(x)g(x)) dx\\ C&=\int_{a}^{b}(g(x))^2 dx\\ \end{split}\]و نتم البرهان بنفس الفكرة، لأن
\[B^2 \leq AC\]