كسور مستمرة (جذر 2)
بين أن
\[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}\]برهان
لدينا
\(\begin{split}
(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)&=\sqrt{2}^2-1^2\\
&=2-1\\
&=1
\end{split}\)
و عليه
و هذا ينتج
وبإستعمال هذه النتيجة بالتكرار، نجد
\[\begin{split} \sqrt{2}&=1+\cfrac{1}{1+\color{blue}{\sqrt{2}}}\\ &=1+\cfrac{1}{1+\color{blue}{1+\cfrac{1}{1+\sqrt{2}}}}\\ &=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\color{blue}{\sqrt{2}}}}\\ &=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\color{blue}{1+\cfrac{1}{1+\sqrt{2}}}}}\\ &=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\color{blue}{\sqrt{2}}}}}\\ \sqrt{2}&=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}} \end{split}\]على سبيل المثال
\[\begin{split} 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+1}}}&=\cfrac{24}{17}\\ \\ 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+1}}}&\approx 1.41..\approx \sqrt{2} \end{split}\]تعد هذه الطريقة إحدى طرق الحساب التقريبي
كُتب في 01/10/2024