كسور مستمرة (جذر 5)
بين أن
\[\sqrt{5}=2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cdots}}}\]برهان
لدينا
\[\begin{split} (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)&=\sqrt{5}^2-2^2\\ &=5-4\\ &=1 \end{split}\]و عليه
و هذا ينتج
وبإستعمال هذه النتيجة بالتكرار، نجد
\[\begin{split} \sqrt{5}&=2+\cfrac{1}{2+\color{blue}{\sqrt{5}}}\\ &=2+\cfrac{1}{2+\color{blue}{2+\cfrac{1}{2+\sqrt{5}}}}\\ &=2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{2+\color{blue}{\sqrt{5}}}}\\ &=2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{2+\color{blue}{2+\cfrac{1}{2+\sqrt{5}}}}}\\ &=2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{2+\color{blue}{\sqrt{5}}}}}\\ \sqrt{5}&=2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cdots}}} \end{split}\]على سبيل المثال
\[\begin{split} 2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+1}}}&=\cfrac{199}{89}\\ \\ 2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+1}}}&\approx 2.236\approx \sqrt{5} \end{split}\]تعد هذه الطريقة إحدى طرق الحساب التقريبي
كُتب في 02/10/2024