أولا نذكر بنشر الدالة الأسية (نشر تايلور)
\begin{equation}
e^{z}=1+\frac{z}{1 !}+\frac{z^{2}}{2 !}+\ldots+\frac{z^{n}}{n !}+\cdots
\end{equation}
بجعل \(z=x+iy\) و \(x=0\)، نجد \(z=iy\)، و عليه
\[\begin{split}
e^{i y} &=1+\frac{i y}{1 !}+\frac{(i y)^{2}}{2 !}+\frac{(i y)^{3}}{3 !}+\frac{(i y)^{4}}{4 !}+\cdots \\
&=\left(1-\frac{y^{2}}{2 !}+\frac{y^{4}}{4 !}-\cdots\right)+i\left(y-\frac{y^{3}}{3 !}+\frac{y^{5}}{5 !}-\cdots\right) \\
&=\cos y+i \sin y
\end{split}\]
بأخذ \(y=\pi\) ، فإن
\[\begin{split}
e^{i\pi} &= (\cos\pi +i \sin\pi) \\
&= 1 (-1 + i\, 0) \\
&= -1
\end{split}\]
و هذا يعطي
\begin{equation}
e^{i\pi}+1=0
\end{equation}
