هل تعلم؟ سلاسل فورييه

هل تعلم؟

سلاسل فورييه

f(x) = Σ aₙsin(nx)

هل تعلم أن أي دالة دورية يمكن التعبير عنها كمجموع لا نهائي من الدوال المثلثية؟

سلاسل فورييه هي إحدى أهم الأدوات في الرياضيات التطبيقية والهندسة…

هل تعلم أن أي دالة دورية يمكن التعبير عنها كمجموع لا نهائي من الدوال المثلثية؟

سلاسل فورييه هي إحدى أهم الأدوات في الرياضيات التطبيقية والهندسة. تسمح لنا بتفكيك الإشارات المعقدة إلى مكونات بسيطة.

التعريف الأساسي

لدالة دورية \(f(x)\) بدورة \(2\pi\)، يمكن كتابة سلسلة فورييه كالتالي:

\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)\]

حيث المعاملات تُحسب بالصيغ:

\[\begin{split} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \\ b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \end{split}\]

مثال: الموجة المربعة

للموجة المربعة المعرفة كالتالي:

\[f(x) = \begin{cases} 1 & \text{إذا } 0 < x < \pi \\ -1 & \text{إذا } -\pi < x < 0 \end{cases}\]

نجد أن سلسلة فورييه هي:

\[f(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3,5,...}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n} = \frac{4}{\pi} \left( \sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots \right)\]

الصيغة المركبة

يمكن أيضاً كتابة سلسلة فورييه بالصيغة المركبة:

\[f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}\]

حيث:

\[c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} \, dx\]

هذه الصيغة تربط سلاسل فورييه بتحويل فورييه، مما يفتح المجال لتطبيقات واسعة في معالجة الإشارات والفيزياء الرياضية.

---

💡 نصيحة: سلاسل فورييه ليست مجرد أداة رياضية، بل هي أساس فهم كيفية عمل الموسيقى الرقمية، ضغط الصور، ومعالجة الإشارات!

كُتب في 22/06/2025